Теория вероятностей - это всего лишь один из разделов
математики. Но она интересна тем, что изобилует парадоксами. Что здесь имеется
ввиду под словом "парадокс"
? В данном случае это нечто, что с интуитивной, житейской точки зрения нам
кажется неверным, невозможным, или трудным для понимания, но математически,
если посчитать, то все сходится, оказывается истиной. Хочу рассмотреть парочку
забавных парадоксов, которые нравятся лично мне.
1) Под
номером один, конечно, по праву должен быть парадокс Монти Холла. Его даже проверили в знаменитых Разрушителях
легенд. Парадокс этот, конечно, чисто интуитивный, а неправильные ответы
обычных людей основаны на плохом знании теории вероятностей. В интернете
большое кол-во статьей с описанием и объяснением, я приведу краткий, упрощенный
пример. И так, по условию игры у нас есть три закрытые двери. За одной из них
спрятан ценный приз, за двумя другими что-то вам не нужное, например коза.
Нужно угадать, за какой дверью спрятан приз. Ведущий предлагает вам выбрать
дверь. Начальный шанс, это очевидно 1/3 или примерно 33%. Вы выбрали, например
дверь номер 3. Ведущий игры даёт вам фору - открывает первую дверь, за ней -
коза. У вас остается две закрытые двери (номер 2 и 3), за одной коза, за другой
приз. Ведущий предлагает вам: можете оставить свой начальный выбор на двери
номер 3 или поменять решение, и выбрать вторую дверь. На первый взгляд
предложение кажется абсурдным - ведь шанс 50 на 50, т.е. 1/2. Две двери. За
одной коза, за другой приз. Поменяю я выбор двери или нет, все равно будет шанс
угадать 50%. Но это не так! Если вы поменяете решение, то шанс угадать будет
66%, если оставите начальный выбор - всего 33%. Откуда такой результат?
Грамотное и подробное объяснение есть на википедии. Мне нравится такое
объяснение: когда вы выбираете дверь в начале игры, шанс приза в ней всегда
33%. По поводу одной из оставшихся дверей ведущий вам сообщает, что там шанс
приза 0% (открывает дверь и там коза). Т.е. в сумме три двери образуют полную
группу событий, т.е. суммарный шанс найти приз в трех дверях вместе равен 100%.
Получается что первая дверь которую мы выбрали вначале 33%, вторая дверь
открытая ведущим 0%, значит третья дверь 100%-33%-0% = 66%. Т.е. шанс третьей
двери на приз равен 66%. Значит предпочтительней сменить начальный выбор на
неё.
2) Парадокс дней рождения. Что, если я вам
скажу, что в группе из 50 человек шанс, что у двоих человек будет день рождения
в один день, равен 97%. Верится с трудом? Нам кажется, что шанс очень
маленький, например 1 к 365. Однако в этой задачке надо применить принципы
комбинаторики. Нужно считать не шансы, а
количество комбинаций. Сколько пар в группе из 50 человек можно образовать? Очень
много. Ведь мы сравниваем день рождения людей по два. Вот если бы мы взяли
одного конкретного человека, какие шансы, что в группе из оставшихся 49 человек
будет точно такой же день рождения, как у конкретного взятого ... да, в этом
случае шанс будет реально мал. Другими словами нужно различать шанс совпадения
дня рождения у двух любых людей в
группе и у одного конкретного человека с кем-то из остальной группы. Расчеты
несколько громоздкие, читайте в статье на вики.
3) Очень простой парадокс. Есть
правильная монета. Каков шанс, что из 10 бросков монеты ровно 5 раз выпадет
орел и ровно 5 раз выпадет решка? Говорите 50% ? А на самом деле 24%. При 1000
бросках монеты шанс, что выпадет ровно 500 решек и ровно 500 орлов, равен всего
лишь 2%. Объяснение кроется в формуле Бернулли для априорной вероятности. Подробнее читайте в статье формула Бернулли. Интересный парадокс.
Комментариев нет:
Отправить комментарий