пятница, 16 октября 2015 г.

Формула Бернулии. Интересный парадокс.

               Привет, сегодня будет небольшая статья, посвященная формуле Бернулли, а также таким понятиям, как априорная и апостериорная вероятность. Не стоит пугаться страшных слов :) Все очень просто. Что мы можем посчитать по формуле Бернулли? Количество тех или иных событий за N испытаний при условии, что событие имеет только два варианта исхода (т.е. орел или решка, черное или красное и т.п.). Приведу пример.
                Какова вероятность, что из n выпадений шарика на рулетке без зеро (т.е. вероятность на цвет 50%) будет ровно k красного (или черного) ?
              Что в этой формуле у нас есть? Что такое n и k мы уже определили. Вероятность события (в нашем примере 0,5) обозначается как p.Большой буквой C обозначают число сочетаний k по n.
                   Вот и все. Думаю со знаком ! факториала большинство знакомо, если нет, то бегом гуглить. Останется подставить в формулу свои цифры и готово. Хорошо, зачем нам нужна эта формула вообще? Ну, для начала она объясняет такой парадокс. Мы подбросили монетку 10 раз. Какова вероятность, что выпадет 5 решек и 5 орлов? Интуитивный ответ - 50%. А на самом деле, вероятность этого около 24%. При 1000 выпадениях монетки шанс, что выпадет 500 орлов и 500 решек, равен всего 2% !!! Довольно не очевидный результат. Если вдаваться в детали, то это связано с тем, что вероятность стремится уравняться, прийти к истинному значению, но с увеличением кол-ва бросаний шанс что и того и того будет поровну, сильно уменьшается. Вероятность стремится, но никак не может достичь своего теоретического значения. Такие дела. А при чем тут рулетка, собственно? :)

                Некоторые игроки заблуждаются, размышляя так: По формуле Бернулли при 10 спинах рулетки шанс выпадения 4 или 6 красного больше, чем выпадения 5 красного. Сразу появляется мысль ... ага, 9 раз кинули шарик ... выпало 4 красного ... значит по шансам скорее всего такое соотношение и останется на следующий 10-й бросок, ведь шансы, что из 10 будет 5 меньше, чем из 10 будет 4. Логично, на первый взгляд. Но самом деле это совершенно неверно, т.к. противоречит отсутствию памяти у шарика. Фишка в том, что формулу Бернулли рассчитывает априорную вероятность. Априорная - значит вычисленная до эксперимента. Грубо говоря мы можем считать вероятность по этой формуле ДО того, как сделали 10 спинов. Если мы сделали 9 спинов, то результат тех спинов нам уже известен, и значит мы не можем их учитывать в формуле. Соответственно апостериорная вероятность - это нечто, рассчитанное ПОСЛЕ эксперимента. Опять же, все сводится к тому, что у случайных чисел нет памяти, при игре в рулетку, в кубики, в монетку мы как будто каждый бросок начинаем игру заново - прошлые броски можно забыть, они никак не влияют на дальнейшую игру, хотя интуитивно иногда так кажется. 

2 комментария:

  1. Здраствуйте, правда эта статья была написана больше года назад, и блог не обновлялся примерно столько же, но я все равно оставлю здесь свой вопрос, т.к пока сам не смог разобраться.
    Меня очень интересует теория вероятности, но я сильно путаюсь в расчетах и много что простого не могу посчитать. Помогите пожалуйста понять, какова вероятность выпадения 10 черных цветов подряд из 100 попыток, из 1000 и 10 тысяч, при 66% что очень важно.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Вам повезло(!), случайно зашёл на свой бложжик, спустя почти год :) Ответ на ваш вопрос далее.
      Вероятность выпадения 10 шариков подряд с p=0.66 будет 0.66 в степени 10,т.е. 0.016 (округленно). Если попыток 100, а шанс возникновения такой линии 1,6% то в среднем будет 1,6 линий. Такой же расчет и для 1000 из 10000, шанс линии в 1000 подряд - 3.5*10^181 (событие можно считать невозможным, крайне большое число нулей после запятой)

      Удалить